Soal: Mencari Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Sistem persamaan linear satu variabel kita ketahui memiliki tiga metode menyelesaian, yakni substitusi, persamaan ekuivalen dan pindah ruas. Ketiga cara itu juga dapat kita gunakan dalam pertidaksamaan lineat satu variabel.

Masih ingatkan, bahwa pertidaksamaan linear satu variabel ditandai dengan tanda <, >, ≤, dan ≥. Hal ini berlaku dimana saja, asalkan itu adalah suatu pertidaksamaan. Berikut selengkapnya berdasarkan metode!

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dengan cara Substitusi

Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dengan cara substitusi adalah sama caranya dengan menentukan himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel. Jika anda kurang paham, coba perhatikan soal berikut ini :

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 11 - 2x > 5, jika x adalah cariabel himpunan bilangan asli.

Jawab :

(Jika x = 1)          | (Jika x = 2)          | (Jika x = 3         Jadi HP (1,2}
11 - 2x   > 5         | 11 - 2x   > 5         | 11 - 2x   > 5
11 - 2(1) > 5         | 11 - 2(2) > 5         | 11 - 2(3) > 5
   11 - 2 > 5         |    11 - 4 > 5         |    11 - 6 > 5
        9 > 5 (BENAR) |         7 > 5 (BENAR) |         5 > 5 (SALAH)

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dengan cara Pindah Ruas

Untuk menentukan dengan cara ini sangatlah mudah da yang paling mudah ketimbang substitusi ataupun ekuivalen. Kita langsung bahas sobat.

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari petidaksamaan 4x + 15 < x + 45 !

Jawab:

4x + 15  < x + 45
4x - x   < 45 - 15
     3x  < 30
     3x  < 30/3
      x  < 10     Jadi HP {10}

Mungkin itu saja sobat informasi yang bisa saya berikan tentang Mencari Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel semoga bermanfaat.

Metode Campuran - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Pada metode campuran dalam persamaan linear dua variabel kita menyelesaikannya dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan substitusi. Cara ini dinilai lebih mudah dan efisien ketimbang kita hanya menggunakan salah satu dari metode tersebut. Kesempatan ini, saya beritahu caranya dengan contoh beserta penyelesaiannya.

Sebelum menginjak materi, mari kita kembali kenali apa itu persamaan linear dua variabel. Ialah persamaan garis lurus yang terdiri dari dua variabel atau peubah.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Campuran

Metode Campuran SPLDV

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel berikut dengan metode campuran!

• 4x + 12y = 28
• 2x + y     = 21

Jawab :

4x + 2y = 28  | X1  →  4x +  2y = 28
2x + 6y = 54  | X2  →  4x + 12y = 108
                       ______________ -
                           -10y = -80
                              y = 8

Setelah kita menemukan y = 8, kita cari x dengan metode substitusi!

4x + 2y   = 28
4x + 2(8) = 28
4x + 16   = 28
     4x   = 28 - 16
     4x   = 12
      x   = 12/4
      x   = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 8)}

Contoh 2

Andi membeli tiga pensil dan empat buku di toko Riki dengan harga Rp 11000,-. Jika Andi membeli lagi sebuah pensil dan tujuh buku ditoko yang sama dengan harga Rp 15000,-. Berapakah harga dua buah pensil dan enam buah buku jika Andi membeli kembali di toko Riki!

Jawab :

Pertama, kita ibaratkan bahwa pensil = y dan buku = z, sehingga persamaannya menjadi :

• 3y + 4z = 11000 ....... (I)
•   y + 7z = 15000 ....... (II)

3y + 4z = 11000  | X1  →  3y +  4z = 11000
 y + 7z = 15000  | X3  →  3y + 21z = 45000
                          ________________ -
                              -17z = -34000
                                 z = 2000

Setelah kita menemukan nilai z = 2000 sekarang kita cari nilai y dengan metode substitusi!

3y + 4z      = 11000
3y + 4(2000) = 11000
3y + 8000    = 11000
        3y   = 11000 - 8000
        3y   = 3000
         y   = 3000/3
         y   = 1000

Dan kita dapatkan harga masing-masing, yakni pensil/y = 1000 dan buku/z = 2000. Sekarang kita substitusikan kembali untuk memperoleh harga dua pensil dan enam buku (2y + 6y = ...?)!

     2y + 6z      = .....
2(1000) + 6(2000) = .....
   2000 + 12000   = 14.000

Jadi harga dua pensil dan enam buku adalah Rp 14.000,-

Mungkin itu saja sobat informasi yang bisa ane berikan tentang Metode Campuran dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel semoga bermanfaat.

Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel Metode Grafik

Kita tahu bahwasanya persamaan linear dua variabel merupakan persamaan garis lurus yang terdiri dari dua variabel atau peubah. Cara mencarinya bisa mengambil beberapa metode, selain eliminasi dan substitusi, adapula metode grafik yang akan saya bahas berikut ini, simak!

Penyelesaian Metode Grafik

Langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut :

• Tentukan titik potong garis dengan sumbu x, syaratnya y = 0
• Tentukan titik potong garis dengan sumbu y, syaratnya x = 0
• Kedua langkah ini dapat kita sederhanakan dengan tabel berikut ini

• Gambar garis dari setiap persamaan
• Menentukan titik potong kedua persamaan, yang merupakan hasilnya

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel dengan metode grafik berikut ini :

• 3x + y = 15
• x + y   = 7

Jawab :

3x + y = 15

1. Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0.
   3x + 0 = 15
           x = 5.
   Titik potong (5, 0)



2. Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.
   3(0) + y = 15
              y = 15.
   Titik potong (0, 15)
   
   Dalam bentuk tabel
   

x + y = 7

1. Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
   x + 0 = 7
         x = 7.
   Titik potong (7, 0)



2. Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
   0 + y = 7
         y = 7.
   Titik potong (0, 7) 
   
   Dalam bentuk tabel
   

Gambar Grafik

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : {( 4,3 )}

Mungkin itu saja sobat informasi yang bisa saya berikan tentang Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel Metode Grafik semoga bermanfaat.

Pembahasan Eliminasi Substitusi Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel merupakan persamaan garis lurus yang terdiri dari dua variabel atau peubah. Dalam menyelesaikan permasalahan ini, kita dituntut mempelajari empat metode yang jika kita pahami benar akan dapat menyelesaikannya dengan sangat mudah.

Metode-metode yang ada pada sistem persamaan linear dua variabel terdiri dari empat macam, yakni eliminasi, substitusi, grafik dan campuran. Bentuk umum persamaan ini adalah ax + by = c. Langsung saja sobat perhatikan materi berikut dengan seksama.

Persamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Eliminasi

Cara menggunakan metode eliminasi ini dengan cara menghilangkan salah satu variabel.

Contoh :
Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara eliminasi

• 4x + 3y = 34
• 5x + y   = 37

Jawab :

Pertama, kita akan mencari nilai variabel x. Untuk mengeliminasi variabel x, maka persamaan nomer 1 (atas) dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor dua (bawah) kita kalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan agar variabel y hilang.

4x + 3y = 34  | X1  →  4x + 3y  = 34
5x + y  = 37  | X3  →  15x + 3y = 111
                       ______________ -
                      -11x      = -77
                         x      = 7

Setelah kita mendapat nilai variabel x, kita akan mencari variabel y dengan cara yang tak jauh beda.

4x + 3y = 34  | X5  → 20x + 15y  = 170
5x + y  = 37  | X4  → 20x +  4y  = 148
                       ______________ -
                            11y  = 22
                              y  = 2

Jadi kita dapat bahwa nilai x = 7 dan y = 2

2. Metode Substitusi

Untuk mencari dengan meunggunakan metode ini, kita akan menggantikan salah satu variabel ke persamaan lain.

Contoh :

Tentukan nilai c dan d dari persamaan dibawah ini dengan metode substitusi

• 4c + 3d = 31
• c + d     = 11

Jawab

Dari soal tersebut kita ketahui bahwa persamaan kedua lebih sederhana dari pada persamaan pertama. Jadi kita akan mengubah persamaan kedua menjadi d = 11 - c. Kita harus memasukkan persamaan kedua ke persamaan pertama, perhatikan!

4c + 3(11 - c) = 31

4c +  33 - 3c  = 31

            c  = 31 - 33
            
            c  = -2

Setelah kita dapat nilai c, kita akan mencari nilai d dengan memasukkan nilai variabel c kedalam persamaan paling sederhana. Kita ambil persamaan kedua.

      c  +  d  = 11

    (-2) +  d  = 11

            d  = 11 + 2
            
            d  = 13

Jadi kita dapat bahwa nilai c = -2 dan d = 13

Mungkin itu saja informasi tentang dua metode dalam persamaan linear dua variabel, untuk metode selanjutnya bisa mencari di kotak pencarian.

Materi: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Salah satu materi matematika yang mudah dijelaskan dan dimengerti siswa adalah persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Bahkan kita hanya disuruh menyamakan variabel untuk menentukan hasil.

Sebelum menginjak materi yang pertama kita jumpai dibangku SMP ini, wajib kita pahami standar kompetensi materi ini. Yakni memecahkan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Ok langsung saja sobat, berikut ulasannya.

Kalimat Terbuka

Apa itu kalimat terbuka, adalah sebuah kalimat yang belum bisa dikatakan apakah itu benar atau salah.

Contoh :

8 + y = 20

Inilah yang dimaksud kalimat terbuka. Jika y kita ganti dengan angka 10, maka hasilnya salah. Sebaliknya, bila kita mengubahnya ke angka 12, maka hasilnya itu benar.

Persamaan Linear Satu Variabel

Apa itu persamaan linear satu variabel, adalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat terbesar dari variabel itu adalah satu ( 1).

Contoh :

~ x + 7 = 13

~ 6 - 2x = 2

Kedua kalimat atau contoh tersebut disebut dengan persamaan. Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan samadengan (=).

Penyelesaian :

Tentukan persamaan dari 3y - 2 = 4

Jawab :

                                  3y - 2 = 4
                                      3y = 4+2
                                      3y = 6
                                       y = 2

Tentukan persamaan dari 3x + 5 = x + 15

Jawab :

                                  3x + 5 = x + 15
                                  3x - x = -5 + 15
                                      2x = 10
                                       x = 10/2
                                       x = 2

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Apa itu pertidaksamaan linear satu variabel, ialah pertidaksamaan yang memuat satu variabel dan pangkat yang paling besar adalah satu. Pertidaksamaan linear satu variabel biasanya menggunakan tanda <, >, ≤, dan ≥

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 5z - 2 > 13

Jawab :

                                   5z - 2 > 13
                                       5z > 13+2
                                       5z > 15
                                        z > 3

Mungkin itu saja sobat materi yang bisa saya berikan tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel semoga bermanfaat.

Pengertian Pertidaksamaan Logaritma Matematika

Jumpa lagi sobar matematik, kali ini saya akan membahas tentang pertidaksamaan logaritma matematika. Kita tau, beberapa waktu yang lalu saya sudah memposting artikel atau materi tentang persamaan logaritma matematika dengan sifat dan contoh soalnya, jika lupa bisa kunjungi halaman ini Persamaan Logaritma.

Langsung saja sobat matematik, kita akan membahas pertidaksamaan logaritma matematika yang memiliki dua sifat, apa saja? simak sobat.

Pertidaksamaan Logaritma

Pengertian
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.

Pada fungsi-fungsi logaritma standart, penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma matematika menggunakan sifat fungsi monoton turun dan monoton naik, apa itu? berikut penjelasannya.

Sifat fungsi logaritma monoton turun (0<a<1)

Jika ^alog f(x) ≥  ^alog g(x), maka f(x) ≥ g(x); dan f(x) dan g(x) > 0

Jika ^alog f(x) ≤  ^alog g(x), maka f(x) ≤ g(x); dan f(x) dan g(x) > 0

Sifat fungsi logaritma monoton naik (a>1)

Jika ^alog f(x) ≥  ^alog g(x), maka f(x) ≥ g(x); dan f(x) dan g(x) > 0

Jika ^alog f(x) ≤  ^alog g(x), maka f(x) ≤ g(x); dan f(x) dan g(x) > 0

Mungkin itu saja sobat informasi tentang pertidaksamaan logaritma matematika, semoga bermanfaat.

Materi Persamaan Logaritma Matematika Contoh Soal

Setelah kita mengetahui pengertian dan sifat-sifat logaritma. Waktunya kita membahas materi yang selanjutnya, yakni persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Ada beberapa macam bentuk persamaan dan pertidaksamaan logaritma matematikan yang akan kita bahas kali ini, simak sobat.

Kali ini saya membahas persamaan logaritma terlebih dahulu ya. Sebelum menginjak materi, mari kita berdo'a terlebih dahulu, sebab ini agak susah sobat. Bismillah.

Persamaan Logaritma

Pengertian
Persamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.

1. Persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) = ^alog p
Untuk menyelesaikan persamaan ^alog f(x) = ^alog p, dimana a>0, a ≠1, dan f(x), p>0 kita dapat menggunakan sifat berikut :

^alog f(x) = ^alog p ↔ f(x) = p, asalkan f(x) > 0

2. Persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) = ^blog f(x)
Untuk menyelesaikan persamaan ^alog f(x) = ^blog f(x) dengan a ≠b, kita dapat memanfaatkan sifat berikut ini :

^alog f(x) = ^blog f(x) ↔ f(x) = 1

Contoh soal :

3. Persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) = ^alog g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan ^alog f(x) = ^alog g(x) dimana a>0, a ≠1, dan f(x), g(x) > 0, kita dapat menggunakan sifat berikut :

^alog f(x) = ^alog g(x) ↔ f(x) = g(x)

asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif

4. Persamaan logaritma yang dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat

Persamaan logaritma dalam bentuk umum seperti berikut A^alog² f(x) + B ^alog f(x) + C = 0, a>0, a ≠1, dan f(x) > 0 serta A,B,C € R

Hal tersebut memiliki persamaan penyelesaian yang hampir sama dengan penyelesaian eksponen yang bisa kita nyatakan dalam persamaan kuadrat

5. Persamaan logaritma berbentuk ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x), dimana h(x)>0, h(x) ≠1 dan f(x) g(x) > 0, kita dapat menggunakan sifat berikut ini :

^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x) ↔ f(x) = g(x)

Mungkin itu saja sobat informasi yang bisa saya jelaskan tentang Materi Persamaan Logaritma Matematika Contoh Soal semoga bermanfaat.

Sifat Logaritma dengan Soal serta Pembahasan

Pertemuan lalu kita sudah dimengerti dengan pengertian Logaritma. Dimana logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Materi kelas 10 SMA kali ini ternyata juga memiliki sifat-sifat khusus dan paten. Mau tau sifat-sifat Logaritma? simak.

Secara hakikat logaritma memiliki 10 sifat utama yang bisa dibuktikan secara nyata. Sebagai siswa kita diwajibkan hafal diluar kepada sifat sifat logaritma ini guna menjawab segala soal yang berhubungan dengannya.

Sifat-Sifat Logaritma

Contoh soal 1:

Contoh Soal 2:

Mungkin itu saja sobat informasi yang bisa ane berikan tentang Sifat Logaritma dengan Soal serta Pembahasan semoga bermanfaat ya.

Pengertian Logaritma dan Contoh Soal

Pada kesempatan yang lalu, kita sudah rampung membahas bilangan eksponen atau bilangan berpangkat. Dan kali ini, sobat matematik dihadapkan dengan materi Logaritma. Materi ini gampang-gampang susah dimengerti oleh siswa. Maka dari itu, simak materi berikut baik-baik.

Pengertian Logaritma

PENGERTIAN LOGARITMA

Operasi logaritma dapat diartikan sebagai operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya.

Jika x = aⁿ maka ^alog x = n, dan sebaliknya jika ^alog x = n maka X = aⁿ. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai :

^alog x = n ↔ x = aⁿ

• a = bilangan pokok atau basis, a>0 ; a ≠1
• x = yang dicari nilai logaritmanya, x>1
• n = hasil logaritma

Berdasarkan pernyataan tersebut sekarang kita dapatkan bentuk-bentuk berikut.

1. 2^x = 5 ↔ x = ²log 5

2. 3^y = 8 ↔ y = ³log 8

3, 5^z = 3 ↔ z = ⁵log3

Contoh Soal :

Contoh Soal Logaritma

Mungkin itu saja sobat informasi yang bisa saya berikan tentang Pengertian Logaritma dan Contoh Soal semoga bermanfaat bagianda.

Persamaan Eksponen dan Contoh Soal

Persamaan Eksponen dapat diartikan sebagai persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x dimana x sebagai bilangan peubah. . Materi ini biasa disampaikan pada awal kelas X dan akhir kelas XII. Materi eksponen ini sebenarnya sangat mudah untuk dimengerti sobat, hanya saja niat yang belum ada hehe, mari simak dengan baik-baik.

Bentuk Persamaan Eksponen

1. a^f(x) = 1  ( Jika a^f(x) = 1 dengan a>0 dan a ≠0, maka f(x) = 0 )

2. a^f(x) = a^p  ( Jika a^f(x) = a^p  dengan a>0 dan a ≠0, maka f(x) = p )

3. a^f(x) = a^g(x)  ( Jika a^f(x) = a^g(x)  dengan a>0 dan a ≠0, maka f(x) = g(x) )

4. a^f(x) = b^f(x)  ( Jika a^f(x) = b^f(x)  dengan a>0 dan a ≠1, b>0 dan b ≠1, dan a≠b maka f(x) = 0 )

5. A(a^f(x))² + B(a^f(x)) + C = 0 ( Dengan a^f(x) = p, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap² + Bp + C = 0 )

1.       Contoh Soal Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = 1

Tentukan himpunan penyelesaiian dari :

a.      3 ^5x-10 = 1

b.      2 ^2x²+3x-5 = 1

Jawab :

a.      3 ^5x-10  = 1

3 ^5x-10  = 3⁰

5x-10 = 0

5x      = 10

x        = 2

b.      2 ^2x²+3x-5 = 1

2 ^2x²+3x-5 = 2⁰

2x²+2x-5 = 0

(2x+5) (x-1) = 0

2x+5 = 0  |    x-1 = 0

X = -²⁄₅     |    x = 1

2.       Contoh Soal Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^p

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a.      5 ^2x-1 = 625

b.      2 ^2x-7 = ⅓₂

c.       √3^3x-10 = ½₇√3

Jawab :

a.  5 ^2x-1 = 625

5 ^2x-1 = 5³

2x-1 = 3

2x    = 4

x      = 2

b. 2 ^2x-7 = ⅓₂

2 ^2x-7 = 2^-5

2x-7 = -5

2x    = 2

x      = 1

c.       √3^3x-10 = ½₇√3

3^3x-10⁄2 = 3^-3.3^½

3^3x-10⁄2 = 3^-⁵⁄₂

3x-10⁄2 = -⁵⁄₂

3x-10     = -5

3x           = 5

x             = ⁵⁄₃

3.       Contoh Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = a^g(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a.      9 ^x²+x = 27 ^x²-1

b.      25 ^x+2 = (0,2) ^1-x

Jawab :

a.      9 ^x²+x = 27 ^x²-1

3 ^2(x²+x) = 3 ^3(x²-1)

2 (x²+x) = 3 (x²-1)

2x² + 2x = 3x² – 3

x² – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3           x = -1       Jadi HP = { -1,3 }

b.      25 ^x+2 = (0,2) ^1-x

5^2(x+2) = 5 ^-1(1-x)

2x + 4 = -1 + x

2x – x = -1 – 4

x         = -5              Jadi HP = { -5 }

4.       Contoh Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = b^f(x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a.      6 ^x-3 = 9 ^x-3

b.      7^x²-5x+6 = 8^x²-5x+6

Jawab :

a.      6 ^x-3 = 9 ^x-3

x-3  = 0

x   = 3

Jadi HP = { 3 }

b.      7^x²-5x+6 = 8^x²-5x+6

x²-5x+6 = 0

(x-6) (x+1) = 0

x = 6      x = -1

Jadi HP = { -1,6 }

5.       Contoh Persamaan Eksponen Bentuk A(a^f(x))² + B(a^f(x)) + C

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a.      2^2x – 2^x+3 + 16 = 0

Jawab :

a.      2^2x – 2^x+3 + 16 = 0

2^2x – 2^x.2³ + 16 = 0

Misalkan 2^x = p, maka persamaannya menjadi

P² – 8p + 16 = 0

(p-4) p-4)     = 0

p                   = 4

Untuk p = 4, jadi

2^x = 4

2^x = 2²

x   = 2

Jadi HP = { 2 }

Mungkin itu saja sobat matematik informasi yang bisa ane berikan tentang Persamaan Eksponen, semoga bermanfaat.